Modern (Sembolik) Mantık

Modern (Sembolik) Mantık

Mantık, geçerli çıkarımlar yapmak için kural ve ilkeler saptar. Çıkarımların geçerliliği denetlemeler aracılığıyla yapılır.

Klasik mantık geçerli çıkarımlar için kurallar koymuştur. Aristoteles, gerçeğe ulaştıran tek yöntemi tümdengelim olarak saptar.

Modern mantık, klasik mantık gibi yalnızca tümdengelimle (kıyasla) uğraşmamış, mantığın alanını genişleterek her türlü geçerli çıkarımla ilgilenmiştir.

Modern mantık önermeler mantığı ve niceleme mantığı olmak üzere başlıca iki alana ayrılır.

Önermeler Mantığı : Matematik üçgenin kenarları için a,b,c yüksekliği için h, alanı için s sembollerini kullanır ve üçgenlerin alanı için, s= ½.a.h formülüne ulaşır.

Modern mantık da, önermelerini p,q,r,s,t,v gibi sembollerle gösterir.

�Ali okula gitti.� yerine �p�; �Taş ağırdır.� yerine �q� ; �Tebeşir beyazdır.� yerine �r� gibi semboller kullanır.

Matematik, +,-,X, :, = gibi semboller kullanır. Modern mantık, bağlaçları, önerme eklemeleri denilen mantık değişmezleri ile sembolleştirir. Önermeler mantığın ana balıkları şunlardır :



Önerme Eklemleri : Önermeleri birbirine bağlayan bağlaçlar ve önermeleri olumsuzlaştıran eklere önerme eklemleri denir.
Modern mantıkta beş temel önerme eklemi vardır.

- Değilleme Eklemi (~) : Değilleme eklemi �~� sembolü ile gösterilir. İsim cümlelerinde �değil�, fiil cümlelerinde ��me�, ��ma� karşılığı olarak kullanılır.

�değil� ve ��me� , ��ma� olumsuzluk eklerinin kullanıldığı tüm cümlelerde �~� sembolü kullanılır.

�Ali okula gitti�, �p�

�Ali okula gitmedi.� , �~p�



�Taş ağırdır.�, �q�

�Taş ağır değildir.�, �~q�

Kural : Önermeler sembolleştirilirken ;

Aynı önermelerin yerine aynı sembollerin, farklı önermelerin yerine farklı sembollerin kullanılmasına,

Önermede geçen �değil�, ��me�, ��ma� gibi olumsuzluk bildiren eklerin yerine mutlaka değilleme ekinin (~) kullanılmasına dikkat edilmelidir.

- Tümel Evetleme Eklemi (Ù) : Tümel evetleme eklemi �Ù� sembolü ile gösterilir �ve� anlamı veren tüm bağlaçların karşılığında �Ù� sembolü kullanılır.

�Ali okula gitti� �p�

�Ali derse girdi� �q�

�Ali okula gitti ve derse girdi� �pÙq�

�Ali ne okula gitti ne derse girdi� �~pÙ~q�

�Ali�nin okula giiti ve derse girdiği doğru değildir.� ~(pÙ q)�

- Tikel Evetleme Eklemi (Ú) : Tikel evetleme eklemi �Ú� sembolü ile gösterilir. �Veya� anlamı veren tüm bağlaçların karşılığı olarak �Ú� sembolü kullanılır.

�Vaya�, �Yahut�, �ya da� bağlaçlarının tümünün karşılığında tikel evetleme eklemi �Ú� kullanılır.



�Ali okula gitti� �p�

�Ali maça gitti� �q�

�Ali okula gitti veya maça gitti.� �pÚq�

�Ali okula gitmedi veya maça gitmedi.� �~pÚ~q�

�Ali�nin okula gitmediği veya maça gitmediği doğru değildir.� �~(~pÚ~q)�

- Koşul Eklemi (&THORN : Koşul eklemi �Þ� sembolü ile gösterilir. �ise� anlamı veren tüm bağlaçların karşılığında �Þ� sembolü kullanılır.

�Zaman�, �ise, ��se�, ��sa�, ��ce�, �için ki�, �yeter ki� gibi koşul bildiren tüm bağlaçların karşılığında koşul eklemi �Þ� kullanılır.

�Kar yağar�, �p�

�Hava soğuk olur� , �q�

�Kar yağarsa kava soğuk olur.� �pÞq�

- Karşılıklı Koşul Eklemi (Û) : Karşılıklı koşul eklemi � Û� sembolü ile gösterilir. �Ancak ve ancak� anlamı veren tüm bağlaçlar karşılığında �Û� sembolü kullanılır.

�Su, normal koşullarda 100°�de ısınır.� �p�

�Su kaynar.� �q�

�Su ancak ve ancak normal koşullarda 100°�de kaynar.� , �p Û q�



Çıkarım : Verilen önermelerden zihnin sonuç çıkarmasına çıkarım denir. Çıkarımda verilen önermelere öncül, öncüllerden zihnin zorunlu olarak çıkardığı önermeye ise sonuç önermesi denir.
Çıkarımda, sonuç önermesinin başında �o halde�, �öyleyse�, �bu nedenle� ifadeleri bulunur. �O halde� ve yerine geçen deyişlerin karşılığı olarak �\� sembolü kullanılır.

Her insan ölümlüdür. (p)

Ali insandır. (q)

(\) Ali ölümlüdür. ( r )

çıkarımı

p,q\r olarak sembolleştirilir.

Basit ve Bileşik Önermeler : Önermeler mantığında, önerme eklemi kullanılmayan önermelere basit önerme, önerme eklemleri yardımıyla kurulan önermelere bileşik önerme denir.
Basit ve bileşik önermelerle ilgili üç başlık incelenecektir :

- Ana Eklem Ana Bileşenler : Bir bileşik önermeyi oluşturan önermelere ana bileşen, ana bileşenleri birbirine bağlayan ekleme ise ana eklem denir.

- Yorumlama Amacıyla Sembolleştirme : Basit bir önerme ad ve yüklemden oluşur. Bilinen adlar, �a�,�b�,�c� gibi sembollerle, yüklemler ise �F�, �G�, �H� gibi sembollerle gösterilir.

�Tebeşir beyazdır.� Gibi bir önerme �p� olarak sembolleştirilebileceği gibi,

Tebeşir beyazdır.

a F �Fa� olarak da sembolleştirilebilir.

Yüklemin ad ile sembolleştirilmesiyle önermelerin ifade edilmesi, yorumlama amacı ile sembolleştirmedir.

- Doğruluk Çizelgeleri : İki değerli mantığın �üçüncü halin imkansızlığı� ilkesine göre, bir önerme, �doğru� (D) ya da �yanlış� (Y) iki tür doğruluk değeri alır.

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri değilleme eklemine göre ve önerme eklemlerine göre biçimlenir ve bu tablolardan yararlanarak bileşik önermelerin doğruluk değerleri bulunur.

Denetlemeler : Bu bölümde iki denetleme türü ile denetleme kuralları incelenecektir.
- Doğruluk Çizelgeleri ile Denetlemeler : Doğruluk çizelgeleri ile denetlemelerde üç tür denetleme vardır. Bu bölümde önermelerin tutarlılık ve geçerlilik denetlemeleri ile eşdeğerliği incelenecektir.

Tutarlılık Denetlemeleri : Önermelerin tutarlılıkları, tekil önermelerin tutarlılığı ve önermelerin birlikte tutarlılığı olmak üzere iki yoldan denetlenir.

Bir Önermenin Tutarlılığı : Bir önermenin tutarlı olması için doğruluk çizelgesinde en az bir yorumunun doğru (D) olması gerekir.

Önermelerin Birlikte Tutarlılığı : Doğruluk çizelgesinde en az bir kere birlikte doğru (D) değeri alan önermeler birlikte tutarlıdır.

Geçerlilik Denetlemeleri :Geçerlilik denetlemeleri tek bir önermenin geçerliliğini ve çıkarımların geçerliliğini içerir.

Bir önermenin geçerliliği : Doğruluk çizelgesinde tüm yorumları D olan önerme geçerlidir.

Çıkarımların geçerliliği : Bir çıkarımın geçerli olması doğru öncüllerden yanlış sonucun çıkmamasıdır. Çıkarımların geçerliliği denetlenirken sonuç önermesi değillenir.

Sonuç önermesinin değillenmesi ile öncüller birlikte tutarsız ise çıkarım geçerli,

Sonuç önermesinin değillenmesi ile öncüller birlikte tutarlı ise çıkarım geçersizdir.

Önermelerin Eşdeğerliği : Doğruluk çizelgesinde bütün yorumların doğruluk değeri aynı olan önermeler eşdeğer (denk) dir.

- Çözümleyici Çizelgeleri ile Denetlemeler : Çözümleyici çizelgelerle yapılan denetlemeler beş başlık altında toplanabilir.

Bir Önermenin Tutarlılığı : Çözümleyici çizelgelerle yapılan denetlemelerde bir önermenin tutarlılığı, tümel ve tikel evetleme eklemlerinin çözümleme kurallarını içerir.

Tümel Evetleme Ekleminin Çözümleme Kuralı : Tümel evetleme eklemiyle yapılan bir bileşik önermenin tutarlılığı denetlenirken ana bileşenler alt alta yazılarak anahtar açılır. Anahtarın içinde yer alan çözülmüş önermelerin (p, ~p gibi) en az birinin bile karşıtı varsa, önerme tutarsız; hiçbirinin karşıtı yoksa, önerme tutarlıdır.

UYARI : Tutarsız önermelerin çözümleme yolunun altına yol kapalı anlamında ( X ) işareti konulur.

Tikel Evetleme Ekleminin Çözümleme Kuralı : Tikel evetleme eklemiyle yapılan bir bileşik önermenin tutarlılığı denetlenirken ana bileşen sayısı kadar çatal açılır. Her iki çatalın altına bir ana bileşen yazılır.

Her bir çatalın altındaki önermenin (bileşenin) karşıtı yoksa önerme tutarsızdır.

UYARI : Yalnızca tikel evetleme eklemi ile yapılan önermeler her koşulda tutarlıdır.

Önermelerin Birlikte Tutarlılığı : Çözümleyici çizelge ile önermelerin birlikte tutarlılığı denetlenirken tümel ve tikel evetleme eklemlerin çözümleme kuralları uygulanır.

UYARI : Ù�nin Ú �ye göre işlem önceliği olduğunu unutmayalım.

Bir Önermenin Geçerliliği : Bir önermenin geçerliliği çözümleyici çizelge ile denetlenirken, önce önermenin değillemesi alınır. Değillemesi tutarsız olan önerme geçerli, değillemesi tutarlı olan önerme geçersizdir.

Tüm yorumları Y olan önerme tutarsızdır.

O halde, değillemesi tutarsız olan önerme her koşulda geçerlidir.

Çıkarımların Geçerliliği : Çıkarımların geçerliliğini denetlerken, sonuç önermesini değilleyerek öncüllerle birlikte tutarlı olup olmadığını denetlediğimiz doğruluk çizelgesi ile denetlemeleri görmüştük.

Önermelerin Eşdeğerliliği : Çözümleyici çizelge ile önermelerin eşdeğerliği denetlenirken, eşdeğerliği araştıran önermeler arasına karşılıklı koşul eklemi (Û) konur.

Elde edilen önerme geçerli ise önermeler eşdeğerdir.

- Denetleme Kuralları :

Bir önermenin tutarlı olması için doğruluk çizelgesinde en az bir kere D değeri alması gerekir.

Bir önermenin tutarsız olması için doğruluk çizelgesindeki tüm yorumların (sütunun) Y olması gerekir.

Önermelerin birlikte tutarlı olması için doğruluk çizelgesinde en az bir kere birlikte D değeri almaları gerekir.

Bir önermenin geçerli olması için ;

Doğruluk çizelgesindeki tüm yorumların (sütunun) D�lerden oluşması gerekir.

Değillemesinin tutarsız olması gerekir.

Bir çıkarımın geçerli olması için doğru öncüllerden yanlış sonuç çıkmaması gerekir. Bunun için de sonuç önermesinin değillemesi ile öncüllerin birlikte tutarsız olması gerekir.

Önermelerin eşdeğer olması için;

Önermelerin doğruluk çizelgesindeki tüm yorumların aynı olması gerekir.

Eşdeğerliği istenen önermeler arasına Û konduktan sonra elde edilen önermenin geçerli olması gerekir.

- Tutarlılık, Geçerlilik, Eşdeğerlik İlişkileri :

Tutarlı önermeler geçerli de geçersiz de olabilir.

Tutarsız önermeler mutlaka geçersizdir.

Geçerli önermeler mutlaka tutarlıdır.

Geçersiz önermeler tutarlı da tutarsız da olabilir.

Tüm geçerli önermeler eşdeğerdir.

Tüm tutarsız önermeler eşdeğerdir.

Niceleme Mantığı

Önermelerin niceleyicilerini de (her, bazı) sembolleştirip niceleyicileri de dikkate alarak denetlemeler yapan mantık alanı niceleme mantığıdır. Niceleme mantığına yüklemler mantığı da denir. Yüklemler mantığı önermeleri iç yapıları ile sembolleştirir.

Niceleme mantığının konuları şunlardır :

Niceleyiciler : Niceleme mantığında karşımıza iki yeni sembol çıkar. Tümel niceleyici (") = �her� anlamına gelir. Önermeler mantığındaki tümel evetleme eklemini (Ù) karşılar.

Tikel niceleyici ($) =�bazı� anlamına gelir. Önermeler mantığındaki tikel evetleme eklemini (Ú) karşılar.

Niceleme mantığında, önermeler mantığından farklı olarak yüklemler (F, B, H) ve bilinmeyen adlar (X, Y, Z) olarak sembolleştirilir.

Bilinen adlar yerine �a�, �b�, �c�, bilinmeyen adlar yerine �x�, �y�, �z� sembolleri kullanılır.

Niceleme mantığında,



Bütün insanlar ölümlüdür. "x(FxÞGx)

" F G



O halde Ali ölümlüdür. (Ga)

\ a G



" x (FxÞGx) Fa\Ga biçiminde sembolleştirilir.

Niceleme mantığında olumsuz önermelerin ifadesi de aşağıdaki gibidir.



Ali insan ölümlü değildir.

" F ~G



önermesi

"x(Fx Þ ~Gx) biçiminde sembolleştirilir.



Bazı insanlar ölümlü değildir.

$ F ~G



önermesi



$x(FxÙ~Gx) biçiminde sembolleştirilir.



Açık Önermeler : İçinde �x�, �y�, �z� gibi bilinmeyen adların geçtiği önermelere açık önerme denir.

Gx, "xFx, $x(FxÙGx), x+y=0, x>8 gibi önermeler açık önermedir.

�"x ölümlüdür.� �x>8� gibi önermelerin doğruluk değerlerini bilemeyiz.

FxÞGx(x insansa, x ölümlüdür.) açık önermesi x değişkeniyle p(x), q(x) biçiminde gösterilir. �x� in yerine �a� sabiti konulduğunda, durum p(a), q(a) biçimine dönüşür.

FxÞGx önermesi özellenir ve,

FaÞGa önermesi elde edilir. (FaÞGa önermesi evrensel bir önerme değildir.)

Böylece önerme doğruluk değeri olan önermeye dönüşür.

Açık önermeler Evrensel kümeye ( E ) göre de doğruluk değeri alırlar.

Örneğin,

X için (x ölümlüdür.) "xFx

Önermesinin evrensel kümesi

E: {insan, at, taş} olsun. E: {a,b,c}

Evrensel kümedeki değerler x�in yerine tek tek konur.



İnsan ölümlüdür Ù At ölümlüdür Ù Taş ölümlüdür.

D D Y



DÙDÙYº Y doğruluk değeri alır.



"xFx önermesinin E:{a,b,c} evrensel kümesindeki açılımı da,

FaÙFbÙFc olur.



Tümel niceleyici bir önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmesi için (D değerli olması) evrensel kümedeki tüm nesnelerce doğrulanması gerekir. Aynı önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmemesi için (Y değerli olması) evrensel kümedeki en az bir nesne tarafından yanlışlanması gerekir.



Tikel niceleyici bir önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmesi için (D değerli olması), evrensel kümedeki en az bir nesne tarafından doğrulanması gerekir.

Aynı önermenin bir evrensel kümede gerçekleşmemesi için (Y değeri alması için), evrensel kümedeki tüm nesnelerce yanlışlanması gerekir.

Bir açık önerme bir önerme eklemi ile doğruluk değeri olan bir önermeye bağlanırsa açık önerme özelliğini kaybeder.

Niceleme Mantığında Önerme Çeşitleri : Niceleme mantığında tekil ve genel olmak üzere iki tür önerme vardır.

Tekil Önerme : İçinde niceleyici geçmeyen (",$ bulunmayan) önerme tekil önermedir.

�p�, �q�, �Fa�, �Gab�, �pÙq�, �FaÚGa�, �~p�, �~Fa� gibi tekil önermeler basit ve bileşik olmak üzere ikiye ayrılır.

Basit Tekil Önerme : Önerme eklemi (�Ù�,�Ú�,�Þ�,�Û�,�~� ) almayan ve içinde niceleyici geçmeyen önermeler basit tekil önermedir. (�p�, �q�,�Fa�,�Gab� gibi).

Bileşik Tekil Önerme : Önerme eklemi alan ve içinde niceleyici geçmeyen önermeler bileşik tekil önermedir. (�pÞq�, �FaÚGb�,�~p�,�~Fa� gibi)

Genel Önerme : "xFx, $xGx, ~"xFx,$(FxÞGx) gibi, içinde en az bir niceleyicinin geçtiği önermedir. Genel önermeler de basit genel ve bileşik genel olmak üzere ikiye ayrılır.

Basit Genel Önerme : Niceleyiciyi etkileyen önerme ekleminin bulunmadığı önermeler basit genel önermedir.

Tümel Basit Genel Önerme :Tümel niceleyicisi bulunan ve niceleyicinin önerme eklemi almadığı önermeler tümel basit genel önermedir.

Tikel Basit Genel Önerme : Tikel niceleyicisi bulunan ve niceleyicinin önerme eklemi almadığı önermeler tikel basit genel önermedir.

Bileşik Genel Önerme : Niceleyiciyi etkileyen önerme ekleminin bulunduğu önermeler bileşik genel önermedir.

Niceleme Mantığında Eşdeğerlik Kuralları :

1. ~"~xFxº$x~Fx

2. $xFxº"x~Fx önermeleri eşdeğerdir.

Niceleme Mantığında Çözümleme Kuralları : Niceleyicilerle kurulan genel önermeler önermede bilinmeyen ad (x,y,z) geçtiği için açık önermedir. Genel önermeler, bilinen bir ada (a,b,c) göre niceleyicilerden arındırılırsa önerme özellenmiş olur. Bu nedenle de tümel niceleyicilerde tümel özelleme, tikel niceleyicilerde tikel özelleme kuralları uygulanır.

Tümel Özelleme Kuralı : Tümel niceleyici ile yapılan bir önermede bilinmeyen adların yerine her zaman bilinen aynı adın kullanılmasına tümel özelleme kuralı denir.

Tikel Özelleme Kuralı : Tikel niceleyici ile yapılan bir önermede, bilinmeyen adların yerine her biri için farklı bir bilinen adın kullanılmasına tikel özelleme kuralı denir.